Fiche de cours MMC : Etude des déformations

 

Introduction à la
Mécanique des Milieux Continus (MMC) : 

 

 

Étude des déformations

 

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Formule de
transport convectif d’un vecteur matériel élémentaire :

 

avec    le tenseur gradient de
la transformation est définie par : 

et  la transformation de
la configuration initiale à la configuration à l’instant t : .

En ce qui
concerne les variations de volume :       

J : le
jacobien à l’instant t de la transformation :

Et de surface :   

Définitions : 

Transformation
homogène : une transformation est dite homogène 

si le
tenseur   est
indépendant des coordonnées . 

Dans
ce cas : les coordonnées   sont
des fonctions affines 

des coordonnées : 

Transformation
de solide rigide ou rigidifiante : c’est un cas 

particulier de transformations homogènes pour lequel le tenseur

est
orthogonal et se réduit à la rotation de solide rigide : , 



, et  .

En ce qui
concerne les déformations d’un milieux matériel, elle 

peuvent être caractérisées en étudiant les variations de produit 

scalaire de vecteurs élémentaires :    

le tenseur
symétrique   est le tenseur des
dilatations de Cauchy-

Green à droite.

  le tenseur
symétrique   est le tenseur des
déformations de Green-Lagrange.

Pour une
transformation de solide rigide :   

Détermination du
tenseur des déformations de Green-Lagrange

par la formule du
ds² :

On pose : et    

On obtient alors :    

Définitions : 

Dilatation dans la
direction matérielle   (au point à l’instant t):

   

Allongement unitaire
(ou relatif) dans la direction matérielle
(au point à l’instant t) : 

 


 

Il y a conservation
des angles au cours d’une transformation si et seulement si est sphérique
c’est-à-dire :    

Vitesse de
déformation : 

  avec le tenseur des taux
de déformations.

Champs de
déplacement :

Déplacement du
point matériel à l’instant t : 

  

Tenseur gradient du
déplacement :  

  ,      avec la partie symétrique
de et la partie
antisymétrique.

Définitions : 

Petite
transformation ou transformation infinitésimale : La transformation d’un milieu entre les configurations
et , dans un référentiel
R, est dite infinitésimale si le champ de tenseur gradient 

du
déplacement est tel que : 



 

Attention : mais la réciproque
est fausse, contre-exemple : la transformation de solides
rigides.

Dans l’hypothèse
des transformations infinitésimales : 

,    

Dans le cas d’une
transformation homogène et infinitésimale  : 

 

Définition : 

Hypothèse
des petits déplacements : On dit que la
transformation d’un milieu entre les configurations et , dans un
référentiel R vérifie l’hypothèse des petits déplacements si
le champ de déplacement est tel que :

 

avec   une longueur
caractéristique du système matériel étudié.

Cette hypothèse
amène à confondre coordonnées lagrangiennes : et eulériennes : .

Hypothèse des
petites perturbations (H.P.P)        =  

Hypothèse
des petits déplacements + Transformation
infinitésimale

A partir de maintenant on se place par défaut en H.P.P

L’allongement dans
une direction matérielle peut alors
s’écrire : 

 

Glissement relatif à deux
directions orthogonales :

 

Composantes du tenseur des
déformations linéarisé relatives à une base O.N. ( ) : 

  : allongement dans la direction    

  : glissement
relatif à  

Décomposition
de en partie sphérique et
déviateur : 

 

Tenseur sphérique : ses trois valeurs propres sont identiques.

Il traduit une dilatation uniforme.

Déviateur : tenseur à trace nulle.

Il traduit une distorsion
sans changement de volume.

avec :  déformation principale moyenne

 

Valeur de la distorsion maximale :

 

Méthode de résolution
d’exercices :

Deux méthodes pour
déterminer :

• 
  
  Si on connaît le
  déplacement : on a donc une expression du vecteur déplacement
  sous la forme :

Or et   est la partie symétrique de donc 

• 
  
  Si on connaît la
  transformation : on a donc le vecteur sous la forme : 
  
  
  

Or et finalement :  

Si il est dit que la
transformation se fait à volume constant alors : cela donne une équation pour
trouver un inconnu.

Méthodes de détermination des déformations principales et des
directions principales de déformation:

• 
  
  Il suffit de trouver les valeurs propres de : ce sont les déformations principales et les vecteurs propres de sont les directions principales de déformation.

• 
  
  Méthode du cercle de Mohr : Il faut que
  soit d’une des formes suivantes dans la base: 
  
  
  
  
  
  
     dans ce cas l’étude suivante de fait dans un plan orthogonal à   
  
  
  
  
  
  
  dans ce cas l’étude suivante de fait dans un plan orthogonal à  
  
  
  
  
    dans ce cas l’étude suivante de fait dans un plan orthogonal à  
  
  
  
  
  
  
  On se place dans le troisième cas on réalise donc l’étude
  suivante dans le plan : 
  
  
  
  

On défit deux points diamétralement opposés sur le cercle de
Mohr : 

et  

On détermine alors le centre du cercle ce point est nécessairement
du l’axe des abscisses, reste alors à déterminer son abscisse :   

Puis son rayon :  

Enfin : les déformations principales : , et

Par convention on les renomme en les rangeant par ordre décroissant :   

Maintenant : on cherche les directions principales de déformation
associées à ces déformations principales : elles sont
notées : ,  et   

Un angle quelconque entre deux vecteurs dans le plan vectoriel φ
correspond à -2 φ dans le plan de Mohr.

Si on suppose alors   

D’autre part,    donc  , grâce au cercle de Mohr tracé
précédemment on remarque que :

Ainsi, on déduit :   

On en déduit
les directions principales de déformations :

La direction pour
la première déformation principale est :    

Comme elle fait un angle de 90°
avec la première direction principale :la direction
de la deuxième déformation principale est:  

On connaît la troisième
direction principale puisqu’elle est évidente au vu de la
matrice :  

On a bien :